二次方程式では解と係数の関係という非常に重要な公式が登場します。
解と係数の関係は大学入試や共通テストでも頻出なので、必ず覚えておきましょう。
そこで今回は早稲田大学教育学部数学科を卒業した筆者が二次方程式の解と係数の関係とは何か？やα、β使い方などについて解説していきます。
数学が苦手な人でも解と係数の関係が理解できるように解説しているので、ぜひ参考にしてください。
※二次方程式とは何かについて解説した記事もご用意しているので、ぜひ参考にしてください。
二次方程式の解と係数の関係とは？
では早速、二次方程式の解と係数の関係とは何かについて解説します。
二次方程式の解と係数の関係とは、二次方程式ax2+bx+c=0の解をα、βとすると
α＋β＝-b/a、αβ＝c/a
が成り立つことです。
例えば、二次方程式x2-5x+6=0があるとします。
x2-5x+6を因数分解すると（x-2）（x-3）となるので、x=2、3となりますね。
※因数分解のやり方がわからない人は数学1の因数分解について解説した記事をご覧ください。
では、α＝2、β＝3としてみましょう。
α＋β＝2+3＝5ですね。二次方程式x2-5x+6=0より、a=1、b=-5なので、α＋βは確かに-b/aになっていることがわかります。
また、αβ＝2×3＝6ですね。二次方程式x2-5x+6=0より、a=1、c=6なので、αβは確かにc/aになっていることがわかります。
以上が二次方程式の解と係数の関係になります。必ず公式として暗記しておきましょう！
二次方程式の解と係数の関係が成り立つ証明
ここからは二次方程式の解と係数の関係が成り立つことを証明していきます。
二次方程式ax2+bx+c=0の2つの解をα、βとすると、解の公式により
α＝-b+√b2-4ac / 2a、β＝-b-√b2-4ac / 2a
となりますね。
※解の公式とは何かについて解説した記事もご用意しているので、ぜひ参考にしてください。
ここで、式を見やすくするためにb2-4ac=Dとおきましょう。
※Dは判別式を表すのでした。詳しくは判別式について解説した記事をご覧ください。
すると、α+β＝（-b+√D / 2a）+（-b-√D / 2a）＝-2b / 2a＝-b/aとなることが証明できます。
また、αβ
＝（-b+√D / 2a）×（-b-√D / 2a）
＝b2-D / 4a2
＝b2-（b2-4ac） / 4a2
＝4ac / 4a2
＝c/a
となることが証明できます。
証明方法としてはそこまで難しくはなかったかと思います。解の公式と判別式を上手く活用することを頭に入れておきましょう。
二次方程式でα、βを使う公式
二次方程式でα、βを使う公式は解と係数の関係だけではなく、以下もあるので合わせて覚えておきましょう。
二次方程式ax2+bx+c=0の解をα、βとすると、ax2+bx+c＝a（x-α）（x-β）が成り立つ。
例えば、二次方程式2x2-11x+12=0を考えてみましょう。
2x2+11x+12を因数分解すると（2x-3）（x-4）となるので、x=3/2、4となりますね。
ここで、α＝3/2、β＝4としてみます。2x2+11x+12=0よりa=2なので、
2（x-3/2）（x-4）を展開してみると、（2x-3）（x-4）＝2x2-11x+12より、確かにもとの二次方程式2x2+11x+12と一致していることがわかります。
以上の公式が成り立つ証明ですが、これは解と係数の関係を使うことで証明できます。
ax2+bx+c
＝a（x2+b/ax+c/a）
＝a{x2-（α+β）x+αβ}
＝a（x-α）（x-β）で証明完了です。
二次方程式の解と係数の関係（練習問題）
最後に、二次方程式の解と係数の関係を活用した練習問題を解いてみましょう。解と係数の関係をしっかりと暗記した上で解いてみてください。
【練習問題】
（1）二次方程式5x2+9x+10=0の2つの解の和と積をそれぞれ求めよ。
（2）二次方程式x2+11x+30=0の解をそれぞれα、βとしたとき、α2+β2の値を解と係数の関係を利用して求めよ。
（3）二次方程式x2+9x+a+3=0の1つの解がもう1つの解の2倍となるとき，実数aの値を求めよ。
【解答＆解説】
（1）二次方程式5x2+9x+10=0の2つの解をそれぞれα、βとおくと、解と係数の関係より、
α+β＝-9/5、αβ＝10/5＝2・・・（答）となります。
（2）解と係数の関係よりα＋β＝-11、αβ＝30ですね。
α2+β2＝（α+β）2-2αβより、（-11）2-2×30＝121-60=61・・・（答）となります。
（3）1つの解がもう1つの解の2倍となるという条件があるので、解をα、2αとおきましょう。
すると、解と係数の関係よりα+2α＝-9、α×2α＝a+3となりますね。
α+2α＝-9を解くとα=-3が求まります。これをα×2αに代入すると18となるので、a=15・・・（答）となります。
今回は二次方程式の解と係数の関係について解説していきました。非常に便利な公式なので、必ず覚えておきましょう。
大学入試や共通テストでも必ず役立つはずです！
