二次方程式を平方根を使って解く方法をわかりやすく解説！

二次方程式の解き方としては因数分解や解の公式が一般的ですが、平方根を使って解く方法もあります。

むしろ平方根を使って解いた方が因数分解や解の公式を使うよりも早く二次方程式を解ける場合もあります。

そこで今回は早稲田大学教育学部数学科を卒業した筆者が二次方程式を平方根を使って解く方法をわかりやすく解説します。

二次方程式を解くための有効なテクニックの1つなので、ぜひ覚えておきましょう。

※二次方程式とは何かについて解説した記事もご用意しているので、ぜひ参考にしてください。

（おさらい）平方根とは？

まず最初に、平方根のおさらいを簡単に行います。

2乗するとaになる数を、aの平方根というのでした。

例えば、2乗すると36になる数は6と-6の2つがあります。つまり、36の平方根＝±6となります。

一般的に、正の整数aの平方根は±√aとなります。√aだけではないことにご注意ください。

平方根についてもっと知りたい人は平方根とは何かについて解説した記事をご覧ください。

二次方程式を平方根を使って解く方法

二次方程式とは、最高次数が2である方程式のことでした。

※次数がわからない人は、多項式の定義について解説した記事をご覧ください。

つまり、x²=64も立派な二次方程式です。x²=64を解いてみると、x=±8ですね。これは64の平方根を求めているとも言えます。

つまり、二次方程式を〇〇²＝××の形に持っていければ平方根が使えるようになるわけです。

では、平方根を使って例題を1つ解いてみましょう。

【例題】

二次方程式x²+6x+6=0を解きなさい。

【解答＆解説】

〇〇²の形を作るために、x²+6x+6を平方完成します。

x²+6x+6＝（x+3）²-3となりますね。

※平方完成のやり方について詳しく解説した記事もぜひ参考にしてください。

よって、（x+3）²=3という〇〇²＝××の形に変形することができました。

x+3=±√3となるので、x=-3±√3・・・（答）となります。

実際にx²+6x+6=0を解の公式を使って解いてみると、

x = -3±√3²-1×6 より確かに -3±√3となっていることがわかります。

※解の公式がわからない人は、解の公式について解説した記事をご覧ください。

以上が二次方程式を平方根を使って解く方法となります。

平方根を使って二次方程式を解く練習問題

ここからは、平方根を使って二次方程式を解く練習をたくさんこなすことが重要です。

以上で解説した平方根の使い方を意識しながら解いてみてください。

【練習問題】

平方根を利用して以下の二次方程式を解きなさい。

（1）x²-81=0

（2）x²+4x+1=0

（3）2x²+10x+2=0

（4）1/2x²+1/4x-1=0

【解答＆解説】

（1）x²-81=0より、x²=81となるので、x=±9・・・（答）となります。

（2）x²+4x+1を平方完成しましょう。

（x+2）²-3となるので、（x+2）²=3より、x+2＝±√3となります。

したがって、x=-2±√3・・・（答）です。

（3）まずは両辺を2で割りましょう。すると、x²+5x+1=0となりますね。

x²+5x+1を平方完成すると、（x+5/2）²-21/4となるので、（x+5/2）²=21/4より、

x+5/2=±√21/2となります。

したがって、x=（-5±√21）/2・・・（答）となります。

（4）分数が入っているので両辺を4倍して分数を消しましょう。

すると、2x²+x-4=0となりますね。

2x²+x-4を平方完成すると、2（x+1/4）²-33/8となるので、2（x+1/4）²＝33/8より。

（x+1/4）²＝33/16となります。x+1/4＝±√33/4となるので、x=（-1±√33）/4・・・（答）となります。

いかがでしたでしょうか？今回は二次方程式を平方根を使って解く方法を解説しました。

因数分解や解の公式はもちろん覚えておかなくてはなりませんが、平方根を使ったテクニックも大学入試・共通テストではかなり有効なことも多いので、ぜひ覚えておきましょう。